设函数F（x）=ex+sinx-ax．（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，求实数a的取

设函数F（x）=ex+sinx-ax．
（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，求实数a的取值范围．

解：（1）函数F（x）=ex+sinx-ax的导函数F′（x）=ex+cosx-a
∵x=0是F（x）的极值点，∴F′（0）=1+1-a=0
解得a=2
又当a=2时，
x＜0时，F′（x）=ex+cosx-2＜0，x＞0时F′（x）=ex+cosx-2＞0
∴x=0是F（x）的极小值点
∴a=2
（2）令φ（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax
则φ′（x）=ex+e-x+2cosx-2a
令S（x）=φ′′（x）=ex-e-x-2sinx
∵S′（x）=ex+e-x-2cosx≥0当x≥0时恒成立
∴函数S（x）在[0，+∞）上单调递增
∴S（x）≥S（0）=0当x≥0时恒成立
∴函数φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴φ′（x）≥φ′（0）=4-2a当x≥0时恒成立
当a≤2时，φ′（x）≥0，函数φ（x）在[0，+∞）上单调递增，即φ（x）≥φ（0）=0
故a≤2时，F（x）≥F（-x）恒成立
当a＞2时，φ′（0）＜0，又∵φ′（x）在[0，+∞）上单调递增
∴总存在x0∈（0，+∞），使得在区间[0，x0）上φ′（x）＜0，导致φ（x）在[0，x0）上递减，而φ（0）=0
∴当x∈（0，x0）时，φ（x）＜0，这与题意不符，∴a＞2不合题意
综上，a的取值范围是（-∞，2]解析分析：（1）先利用导数公式和导数四则运算计算函数F（x）的导函数F′（x），再利用函数极值的意义，令F′（0）=0即可解得a的值（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒不在y=F（-x）的图象下方，即φ（x）=F（x）-F（-x）≥0在[0，+∞）上恒成立，考虑到φ（0）=0，故通过讨论函数φ（x）的单调性可得a的范围点评：本题综合考查了导数运算，导数与函数极值间的关系，利用导数研究函数的单调性进而解决不等式恒成立问题，分类讨论的思想方法

我学会了

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