△ABC中，角A的对边长等于2，向量m(向量)=(2，2cos^2((B+C)/2-1))，向量n(向量)=(sin(A/2)，-1)。(1)当m(向量)·n(向量)取最大值时，求角A的大小；(2)在(1)的条件下，求△ABC的面积的最大值。
向量问题啊啊啊啊啊啊
答案:2 悬赏:80 手机版
解决时间 2021-07-18 09:56
- 提问者网友：寂寞撕碎了回忆
- 2021-07-18 00:24
最佳答案
- 五星知识达人网友：鸽屿
- 2021-07-18 00:38
解：(1)
m(向量)·n(向量)=2sin(A/2)-2cos^2((B+C)/2-1)=2sin(A/2)-cos(B+C)。
因为A+B+C=π，所以B+C=π-A；于是，
m(向量)·n(向量)=2sin(A/2)+cosA=-2sin^2(A/2)+sin(A/2)+1=-2(sin(A/2)-1/2)^2+3/2。
因为A/2∈(0，π/2)，所以当且仅当sin(A/2)=1/2，即A=π/3时，m(向量)·n(向量)取得最大值3/2。
故m(向量)·n(向量)取得最大值时的角A=π/3。
(2)
设角A、B、C所对的变长分别为a、b、c，
由余弦定理，得b^2+c^2-a^2=2bccosA，
即bc+4=b^2+c^2≥2bc，
所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号。
又S△ABC=(1/2)bcsinA=(√3/a)bc≤√3。
当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为√3。
全部回答
- 1楼网友：患得患失的劫
- 2021-07-18 01:39
解：(1)
m(向量)·n(向量)=2sin(A/2)-2cos^2((B+C)/2-1)=2sin(A/2)-cos(B+C)。
因为A+B+C=π，所以B+C=π-A；于是，
m(向量)·n(向量)=2sin(A/2)+cosA=-2sin^2(A/2)+sin(A/2)+1=-2(sin(A/2)-1/2)^2+3/2。
因为A/2∈(0，π/2)，所以当且仅当sin(A/2)=1/2，即A=π/3时，m(向量)·n(向量)取得最大值3/2。
故m(向量)·n(向量)取得最大值时的角A=π/3。
(2)
设角A、B、C所对的变长分别为a、b、c，
由余弦定理，得b^2+c^2-a^2=2bccosA，
即bc+4=b^2+c^2≥2bc，
所以bc≤4，当且仅当b=c=2时取等号。
又S△ABC=(1/2)bcsinA≤1/2 x 4 x √3/2 =√3。
当且仅当a=b=c=2时，△ABC的面积最大为√3。
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