已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，an=2Sn+1+3n（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{Sn3n}是等差数列；（

已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，an=2Sn+1+3n（n∈N*，n≥2）．（1）求证：数列{Sn3n}是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）令bn=2n2?5n?3an，如果对任意n∈N*，都有bn+29t＜t2成立，求实数t的取值范围．

（1）∵a1=3，an=2Sn+1+3n（n∈N*，n≥2），
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1，∴Sn-3Sn-1=3n，
∴
Sn
3n -
Sn?1
3n?1 =1，
∴数列{
Sn
3n }是以1为首项，1为公差的等差数列；
（2）由（1）得
Sn
3n =n，
∴Sn=n?3n，
∴n≥2时，an=（2n+1）?3n-1，
n=1时也成立，
∴an=（2n+1）?3n-1；
（3）bn=
2n2?5n?3
an =
n?3
3n?1 ，
∴bn+1-bn=
?2n+7
2n ，
∴n=1，2，3时，bn+1＞bn，n≥4时，bn+1＜bn，
∴对任意n∈N*，都有bn≤
1
27 ，
∵对任意n∈N*，都有bn+
2
9 t＜t2，即bn＜t2-
2
9 t成立，
∴
1
27 ＜t2-
2
9 t，
解得t＞
1
3 或t＜-
1
9 ．

(1)a2=4,方法就是取n=2，s2=a1+a2来算 (2)2sn=na(n+1）-n^3/3-n^2-2n/3 2an=sn-s(n-1) an=n*a（n+1）/n+1-n an/n=a（n+1）/n+1-1 1=a（n+1）/n+1-an/n ｛an/n｝成，首项为1，公差为1的等差数列 这是我在静心思考后得出的结论， 如果能帮助到您，希望您不吝赐我一采纳~（满意回答） 如果不能请追问，我会尽全力帮您解决的~ 答题不易，如果您有所不满愿意，请谅解~

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