如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）在△ABC满足什么条件时

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解决时间 2021-03-21 03:11

提问者网友：情歌越听越心酸
2021-03-20 20:14

如图，以△ABC的三边为边，在BC的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）在△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形；
（3）对于任意△ABC，四边形ADEF是否总存在？

最佳答案

五星知识达人网友：天凉才是好个秋
2021-03-20 21:07

证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
∴△ABC≌△DBE．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）不一定，当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，不存在四边形ADEF．解析分析：（1）可先证明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可证四边形ADEF是平行四边形；
（2）如四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；
（3）不一定，当∠BAC=60°时不存在．点评：本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识．

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1楼网友：忘川信使
2021-03-20 21:12

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