若函数f（x）的图象上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为M（x0，y0），使得f（x）在点（x0，f（x0））处

若函数f（x）的图象上存在不同两点A，B，设线段AB的中点为M（x0，y0），使得f（x）在点（x0，f（x0））处的切线l与直线AB平行或重合，则称切线l为函数f（x）的“平衡切线”．则函数f（x）=2aln（x+1）+x2-2x的“平衡切线”的条数为（　　）A．2条或无数条B．1条或无数条C．0条或无数条D．2条或0条

①当a=0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），（x2＞x1），
AB中点坐标为：（x0，y0），
∴2x0=x1+x2，
∴KAB=
f(x2)?f(x1)
x2?x1 =
(x2+x1)(x2?x1)?2(x2?x1)
x2?x1 ，
∴x2+x1-2=2x0-2，
又∵f′（x0）=2x0-2，
∴切线l为f（x）平衡切线，且有无数条；
②当a≠0时，KAB=
f(x2)?f(x1)
x2?x1 =
2aln(
x2+1
x1+1 )
x2?x1 +2x0-2，
f′（x0）=
2a
x0+1 +2x0-2，
令f′（x0）=KAB，则
x2?x1
x0+1 =ln（
x2+1
x1+1 ）（*），
设x0到x1，x2的距离都为d，
则（*）式化为：
2d
x0+1 =ln（
x0+d+1
x0?d+1 ），
（x0＞-1）且x0＞d-1，
∴
2d
x0+1 ＜
2d
d?1+1 =2，
又∵
2d
x0+1 ＞
2(x0+1)
x0+1 =2，
因此，前后矛盾，不存在这样的x0 和d，
故选：C．

（1）设a(x1, y1)、b(x2、y2)，由|af|、|mf|、|bf|成等差数列得x1+x2=2x0.
得线段ab垂直平分线方程： 令y=0，得
x=x0+4, 所以n(x0+4, 0）

（2）由m(x0, y0) , n(x0+4, 0), |mn|=4 , 得x0=2.
由抛物线的对称性，可设m在第一象限，所以m(2, 4), n(6,0).
直线pq: y=x－6, 由 得
△mpq的面积是64

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息