x y z 是实数，A B C为一三角形的三个内角 证明x^2+y^2+z^2=2xycosC+2yzcosB+2xzcosA

x y z 是实数，A B C为一三角形的三个内角 证明x^2+y^2+z^2=2xycosC+2yzcosB+2xzcosA

1.把x^2*(sinB)^2+[(sinB)^2+(sinC)^2-(sinA)^2]x+sin^C＞0这个不等式以X作为未知数，得到的一元二次不等式，二次项系数(sinB)^2，一次项系数(sinB)^2+(sinC)^2-(sinA)^2，常数项sinC2.ABC分别是三角形ABC的内角，那么(sinB)^2>0,即二次项系数大于0.要使得x^2*(sinB)^2+[(sinB)^2+(sinC)^2-(sinA)^2]x+sin^C＞0對一切實數恆成立，那么x^2*(sinB)^2+[(sinB)^2+(sinC)^2-(sinA)^2]x+sin^C=0无实数解3.从而只要判定判别式=[(sinB)^2+(sinC)^2-(sinA)^2]^2-4((sinB)^2)sinC<0即可首先知道A+B+C=180，那么sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC所以(sinA)^2=（sinB）^2(cosC)^2+(cosB)^2(sinC)^2+2sinBcosCcosBsinC那么(sinB)^2+(sinC)^2-(sinA)^2=(sinB)^2[1-(cosC)^2]+(sinC)^2[1-(cosB)^2]-2sinBcosCcosBsinC=(sinB)^2(sinC)^2+(sinC)^2(sinB)^2-2sinBcosCcosBsinC=2(sinB)^2(sinC)^2-2sinBcosCcosBsinC=2sinBsinC(sinBsinC-cosBcosC)=-2sinBsinCcos(B+C)=2sinBsinCcosA从而判别式=4(sinB)^2*(sinC)^2*（cosA)^2--4((sinB)^2)sinC=4(sinB)^2sinC[sinC*（cosA)^2-1]因为ABC是三角形ABC内角，那么sinB>0,sinC>0,0<（cosA)^2<1从而知道sinC*（cosA)^2-1<0从而得到判别式<04.问题得到证明

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