从1到2013的所有自然数中有多少个数乘以48后是完全平方数

从1到2013的所有自然数中有多少个数乘以48后是完全平方数

25个
48=3x16=3x4^2

想要乘以48后是完全平方数则这个自然数必须是3的奇次方幂和其它自然数的偶次方幂(也是完全平方数)之积，即该数可写为3^(2m-1)*k^2n，mnk∈N+
1-2013中只可以取到3^1=3，3^3=27，3^5=243(3^7=2187＞2013)
取3^1=3时，因为2013/3=671，只可以取1，2^2，3^2，4^2......25^2=625(26^2=676＞671)共25种
取3^3=27时，因为2013/27=74...15，只可以取1，2^2，3^2，4^2，5^2，6^2，7^2，8^2共8种
取3^5=243时，因为2013/243=8...69，只可以取1和2^2两种
而事实上第一种取法包含了后两种取法，所以结果是25个数
3 12 27 48 75 108 147 192 243 300 363 432 507 588 675 768 867 972 1083 1200 1323 1452 1587 1728 1875

48=2×2×2×2×3
因此所求数的因子中必有3,即该数可表示为3p^2（p为整数）
问题转化为1-2013中有多少3p^2（p 为整数）形式的数
2013÷3=671
25×25=625,26×26=676
因此有25个

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