【二次函数的性质】二次函数的所有性质

【二次函数的性质】二次函数的所有性质

【答案】 二次函数
　　I.定义与定义表达式
　　一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：
　　y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
　　则称y为x的二次函数.
　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式.
　　II.二次函数的三种表达式
　　一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）
　　顶点式：y=a(x-h)²+k [抛物线的顶点P（h,k）]
　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1,0）和 B（x2,0）的抛物线]
　　注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:
　　h=-b/2a k=(4ac-b²)/4a x1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a
　　III.二次函数的图象
　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,
　　可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.
　　IV.抛物线的性质
　　1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线
　　x = -b/2a.
　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.
　　特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
　　2.抛物线有一个顶点P,坐标为
　　P [ -b/2a ,(4ac-b²)/4a ].
　　当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ= b²-4ac=0时,P在x轴上.
　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.
　　当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.
　　|a|越大,则抛物线的开口越小.
　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.
　　当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；
　　当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.
　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点.
　　抛物线与y轴交于（0,c）
　　6.抛物线与x轴交点个数
　　Δ= b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.
　　Δ= b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.
　　Δ= b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.
　　V.二次函数与一元二次方程
　　特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c,
　　当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,
　　即ax²+bx+c=0
　　此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.
　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.

我学会了

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