导数与微分综合题04

在什么条件下，函数f(x)=x^n * sin1/x ,x≠0

0 ，x=0

1.在x=0处连续？

2.在x=0处可导？

3.在x=0处导函数连续？

1 如果这个函数在x=0处有定义，有极限，且极限值等于函数值，那么x=0就是它的连续点。首先考虑n>0，这时，f（0）=0，且当x趋于0时，|f(x)-f(0)|<e(e是一个极小量)成立，所以这时f（x）在x=0处连续。同理，可得，当n小于等于0时，f（x）在x=0处不连续。

2 由于函数在不连续点一定不可导，所以只考虑n>0的情况，根据导数的定义，f '(x)=当a趋于0时，[（x+a)^n* sin1/(x+a)-x^n * sin1/x ]/a,你可以验证，当n大于等于2时，f '(0）是存在的

3 只考虑n大于等于2时的情形，对f(x)求导得f '(x)=nx^(n-1)* sin1/x-x^(n-2)cos1/x,用上面判段连续的方法可知只有当n大于2时导函数连续

f(x)=x^n * sin1/x

（１）因在x=0处　1/x无意义，故在x=0处不可能连续

X=1 利用函数可到定义求 满意请采纳

n大于0时，函数连续，当x趋近于零时，正弦函数有界，而x的n次方应趋近于零

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