阶乘数的定义域是自然数;那么能否在实数集R上为其找到一个函数,该函数处处连续可导?

阶乘数的定义域是自然数;那么能否在实数集R上为其找到一个函数,该函数处处连续可导?

f(n)=∫(x^n)*(e^-x)dx,积分下限为0，上限为∞。1781年瑞士数学家欧拉给出的，详见《不可思议的e》的P133-P134。参考资料：《不可思议的e》(陈仁政著，科学出版社)

这个当然是可以的。
首先用形象思维直观理解：
我们可以先在平面直角坐标系里描出所有的（n,n!）的点，这些点是离散的，每两点横坐标之间的距离都是1。我们可以用光滑的曲线将这些点连起来，得到那个连续函数就是答案了。
其次，从数学上严谨地说，要从已抽样的离散函数中恢复出一个原始的连续函数，可以用Nyquist定理的内插公式。
f(x)=∑f(n)*Sa[π(x-n)]=∑n!*Sa[π(x-n)]
其中Sa(x)=(sinx)/x，叫做内插函数。
当然，上面的那个函数只是例子之一，还有很多其他例子。只要是“用光滑的曲线将离散点连起来”的函数都是复合题意的，只不过“光滑曲线”是可以任意的，那么函数表达式也就不好确定。
而用内插公式写出来的那个函数，f(x)=∑f(n)*Sa[π(x-n)]=∑n!*Sa[π(x-n)]
从图像上看，用通俗语言讲,其实是“用最简单，最有效的光滑曲线连接各点”所得到的连续函数,如果对它做谱分析，可知它是满足题目要求的频谱分量最窄的函数。

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