已知椭圆C x2/8+y2/2=1 的左右焦点为F1F2 求椭圆上一点M(2,1)处的切线已知椭圆C

已知椭圆C x2/8+y2/2=1 的左右焦点为F1F2 求椭圆上一点M(2,1)处的切线已知椭圆C

1.椭圆的切线斜率方程可由以下过程求得：x^/8 +y^/2=1两侧同时对x求导：2x/8 + 2y*y'/2=0y'=-x/(4y)由此可知,椭圆在M(2,1)处的切线斜率为：k=-2/(4*1)=-1/2∴M点处的切线方程为：y=(-1/2)*(x-2)+1=(-1/2)x+22.根据椭圆方程可求出F1(-√6,0),F2(√6,0)根据反射的定义,反射光线所在直线,必然经过F1点关于M点切线L：y=(-1/2)x+2 的对称点F1',先求出F1'的坐标：根据对称含义,线段F1F1'必然被直线L垂直平分,两线的交点即为F1F1'的中点：N（xN,yN）kF1F1'=-1/kL=-1/(-1/2)=2∴F1F1'所在直线的方程是：y=2(x+√6)=2x+2√6联立F1F1'与L的方程,可解出F1F1'的中点N的坐标为：(4/5 - 4√6/5 ,8/5 + 2√6/5)根据中点坐标公式有：xN=(xF1+xF1')/2yN=(yF1+yF1')/2由此可以得出F1'的坐标为：(8/5 - 3√6/5 ,16/5 + 4√6/5)由于F1'必在反射光线上,∴F1'M必然构成反射光线,只需确定F1',反射点M(2,1),以及F2(√6,0)三点共线,即可确定F2在反射光线上kF1'M=(16/5 + 4√6/5 -1)/(8/5 - 3√6/5 -2)=-(11+4√6)/(2+3√6)=-[(11+4√6)*(2-3√6)]/[(2+3√6)*(2-3√6)]=-1-√6/2kMF2=(1-0)/(2-√6)=1/(2-√6)=(2+√6)/[(2-√6)*(2+√6)]=-1-√6/2显然：kF1'M=kMF2三点共线∴反射光线经过F2的结论成立

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