绝对值方程式

X＾2＋5XY－5X－15Y＋6＝｜X-6Y｜满足正整数一对X,Y的值当中,求X是最小的偶数的值.

这道问题最后要求的是X值和Y值是什么？

最后的答案X=4,Y=6.
但我不知道是怎么做出来的,能不能有好心人解释一下．谢谢！

X＾2＋5XY－5X－15Y＋6=｜X-6Y｜

1.X-6Y≥0时
方程变为：X^2+5XY-6X-9Y+6=0
对比(x+a)(x+by+c)=x^2+bxy+(a+c)x+aby+ac的形式
令x、y项系数对应相等
b=5，a=-9/5，c=-21/5
方程变为(x-9/5)(x+5y-21/5)=39/25
即(5x-9)(5x+25y-21)=39=(±1)*(±39)=(±3)*(±13)
因为X、Y为正整数，均≥1
所以，5x+25y-21≥9（39的约数中满足条件的为39和13）
所以，5x-9=1或3，x是正整数，所以，x=2，
此时5x+25y-21=39，y=2
与x-6y≥0矛盾
所以，此时方程无正整数解

2.X-6Y＜0时
方程变为：X^2+5XY-4X-21Y+6=0
对比(x+a)(x+by+c)=x^2+bxy+(a+c)x+aby+ac的形式
令x、y项系数对应相等
b=5，a=-21/5，c=1/5
方程变为(x-21/5)(x+5y+1/5)=-171/25
即(5x-21)(5x+25y+1)=-171=(±1)*(±171)=(±3)*(±57)=(±9)*(±19)
因为X、Y为正整数，均≥1
所以，5x+25y+1≥31（171的约数中满足条件的为171和57）
所以，5x-21=-1或-3，x是正整数，所以，x=4
此时5x+25y+1=171，y=6

所以，符合条件的解为X=4，Y=6

（PS，根据以上分析，符合方程的正整数解仅有X=4,Y=6这一组，所以，个人觉得题目中“X是最小偶数”这个条件有些多余。）

要分情况解答。（1)，如果x-6y<0，那么此式化简为：(5x-21)y+x^2-4x+6=0。由x为正偶数可知，5x-21不为0，所以y=(x^2-4x+6)/(21-5x)。又因为分子恒大于0，所以分母也大于0，0<x<21/5，就剩2和4了，验证y是正整数，且x-6y<0即可。那种情况类似，自己算噢

某东西a大于等于一个东西b的最大值，自然能保证这a≥b恒成立，用数学语言说 一个关于x的式子f(x)，若对于其任意的x有 f(x)≤a 恒成立，那么只需令a≥f(x)_max，这里的f(x)_max就是指f(x)的最大值。 回到本题，f(x)=|x-4|-|x-3|，我们采用数形结合的方法，|x-4|-|x-3|表示数轴上的点到3、4两点的距离的差，显然最大值为1，所以只需a≥1。

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