设A为n阶实对称矩阵，且满足A3+A2+A=3E，证明A是正定矩阵

设A为n阶实对称矩阵，且满足A3+A2+A=3E，证明A是正定矩阵．

假设 λ 为A的特征值，
因为A3+A2+A=3E，所以 λ3+λ2+λ-3=0．
即　（λ3-1）+（λ2-1）+（λ-1）=0，
得 （λ-1）（λ2+2λ+3）=0．
解得，λ=1，λ＝
?2±



4?12
2 ＝?1±2



2 i．
因为A为实对称矩阵，其特征只能为实数，所以：λ=1＞0．
所以A的特征值均为1，故A为正定矩阵．

设λ是a的特征值 则 λ^3-2λ^2+4λ-3 是 a^3-2a^2+4a-3e 的特征值 而 a^3-2a^2+4a-3e=0, 零矩阵的特征值只能是0 所以 λ^3-2λ^2+4λ-3=0. λ^3-2λ^2+4λ-3=(λ-1)(λ^2-λ+3)=0 而实对称矩阵的特征值是实数 所以a的特征值都是1. 所以a为正定矩阵.

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