已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+p=0的两个实数根且p，k的函数关系如图所示，第三边BC的长为5．（1）求出以k为自变量

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+p=0的两个实数根且p，k的函数关系如图所示，第三边BC的长为5．
（1）求出以k为自变量的p的函数关系式．
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

解：（1）p，k的函数图象过点（-1，0），（-2，0），
∴设p=a（k+1）（k+2），
∵p，k的函数图象过点（0，2），
∴2a=2，
∴a=1，
∴p=（k+1）（k+2）=k2+3k+2，
∴以k为自变量的p的函数关系式为：p=k2+3k+2；???

（2）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC=5，
∴AB2+AC2=25，
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）+k2+3k+2=0的两个实数根，
∴AB+AC=2k+3，AB?AC=k2+3k+2，
∴AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB?AC，
即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，
解得k=2或-5；
∵AB+AC=2k+3＞0，
∴k=-5（舍去）
∴k=2．
∴k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．解析分析：（1）观察图象可知p，k是二次函数关系，又由p，k的函数图象过点（-1，0），（-2，0），可设两点式p=a（k+1）（k+2），然后由p，k的函数图象过点（0，2），由待定系数法即可求得以k为自变量的p的函数关系式．
（2）由△ABC是以BC为斜边的直角三角形，根据勾股定理可得AB2+AC2=25，又由AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+p=0的两个实数根，根据根与系数的关系，即可求得AB+AC=2k+3，AB?AC=k2+3k+2，则可求得方程（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，解此方程即可求得

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