设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，（1）求a2，a3，a4；（2）猜想出{an}的一个通项公式并证明你的结论．

设数列{an}满足a1=2，an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…，
（1）求a2，a3，a4；
（2）猜想出{an}的一个通项公式并证明你的结论．

解：（1）由a1=2，得a2=a12-a1+1=3
由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4
由a3=4，得a4=a32-3a3+1=5
（1）用数学归纳法证明
①由a1=2=1+1知n=1时，an=n+1成立
设n=k（k属于正整数）时an=n+1成立，即ak=k+1
则当n=k+1时，因为an+1=an2-nan+1，
所以ak+1=ak2-k（k+1）+1=（k+1）2-k（k+1）+1=k2+2k+1-k2-k+1=k+2
综上，an=n+1成立解析分析：（1）由数列{an}满足：an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…及a1=2，我们易得到a2，a3，a4的值；（2）由（1）可归纳数列中每一项的值与序号的关系，我们可以归纳推理出an的一个通项公式．使用数学归纳法，先证明n=1时，结论成立，再假设n=k时结论成立，进而论证n=k+1时，结论依然成立，从而得证．点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．但归纳推理的结论不一定正确，我们要利用数学归纳法等方法对归纳的结论进行进一步的论证．

我好好复习下

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