特征值分解和奇异值分解的区别

特征值分解和奇异值分解的区别

特征值分解和奇异值分解的区别
所有的矩阵都可以进行奇异值分解，而只有方阵才可以进行特征值分解。当所给的矩阵是对称的方阵，A(T)=A，二者的结果是相同的。也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例。但是二者还是存在一些小的差异，奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序，而且全部是大于等于零。
对于特征值分解 [v,d] = eig( A ) , 即 A = v*d*inv(v)
对于奇异值分解,其分解的基本形式为 [u,s,v] = svd(C), C = u*s*v'. 若C阵为对称的方阵, 则有 u = v; 所以有 C = v*s*v';

有的矩阵都可以进行奇异值分解，而只有方阵才可以进行特征值分解。当所给的矩阵是对称的方阵，A(T)=A，二者的结果是相同的。也就是说对称矩阵的特征值分解是所有奇异值分解的一个特例。但是二者还是存在一些小的差异，奇异值分解需要对奇异值从大到小的排序，而且全部是大于等于零。 对于特征值分解 [v,d] = eig( A ) , 即 A = v*d*inv(v) 对于奇异值分解,其分解的基本形式为 [u,s,v] = svd(C), C = u*s*v'. 若C阵为对称的方阵, 则有 u = v; 所以有 C = v*s*v';

矩阵的特征值分解和奇异值分解2008-04-07 20:17定理:（奇异值分解）设a为m*n阶复矩阵，则存在m阶酉阵u和n阶酉阵v，使得: a = u*s*v’ 其中s=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(a)。 推论：设a为m*n阶实矩阵，则存在m阶正交阵u和n阶正交阵v，使得 a = u*s*v’ 其中s=diag(σi,σ2,……,σr)，σi>0 (i=1,…,r)，r=rank(a)。 1、奇异值分解非常有用，对于矩阵a(m*n)，存在u(m*m)，v(n*n)，s(m*n)，满足a = u*s*v’。u和v中分别是a的奇异向量，而s是a的奇异值。aa'的正交单位特征向量组成u，特征值组成s's，a'a的正交单位特征向量组成v，特征值（与aa'相同）组成ss'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。 2、奇异值分解提供了一些关于a的信息，例如非零奇异值的数目（s的阶数）和a的秩相同，一旦秩r确定，那么u的前r列构成了a的列向量空间的正交基。 关于奇异值分解中当考虑的对象是实矩阵时: s对角元的平方恰为a'a特征值的说明. (对复矩阵类似可得) 从上面我们知道矩阵的奇异值分解为: a=usv, 其中u,v是正交阵(所谓b为正交阵是指b'=b-1, 即b'b=i), s为对角阵. a'a=v's'u'usv=v's'sv=v-1s2v 上式中, 一方面因为s是对角阵, s's=s2, 且s2对角元就是s的对角元的平方. 另一方面注意到a'a是相似与s2的, 因此与s2有相同特征值. 其实奇异值可以认为是一种特殊的矩阵范数！

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