如何用householder变换求矩阵的qr分解 例子

如何用householder变换求矩阵的qr分解 例子

[Householder阵]
（1） 设a Rn， = ||a||2，通常取 与a1同号，记H=I-2vvT，（v= ）,
则Ha= - e1. H=I -2vvT称为Householder阵。
（2） 更一般地，对a=(a1,a2,…am,am+1,…,an)T,记 = ，可求出H，使
Ha=(a1,a2,…am, ,0,…,0)T。
为此，先在Rn-m中求 使 满足
=(am+1,…,an)T=(- ,0,…,0,0)T，
再作H= ,则Ha= (a1,a2,…am,am+1,…,an)T =( a1,a2,…am,- ,0,…,0,0)T

[用Householder方法求矩阵的QR分解]
记A=(aij)n*n，由1可知，存在H1=I -2v1v1T，使
H1(a11,a21,…,an1)T=(a11(1),0,…,0)T,
于是 H1A=
又由1知，存在H2= ,使 ，于是
H1A= =
类似地依次进行n-1次，得出
Hn-1Hn-2…H1A= 。
记R=Hn-1Hn-2…H1A，Q=HnHn-1…H1,得A=Q*R

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