设f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>-1) (1).求f(x)单调区间 (2)证明:当n>m>0时，(1+n)^m<(1+m)^n

设f(x)=x-(x+1)ln(x+1)(x>-1) (1).求f(x)单调区间 (2)证明:当n>m>0时，(1+n)^m<(1+m)^n

1）f '(x)=1-ln(x+1)-1= - ln(x+1) ，
当 -1<x<0 时，f '(x)>0 ，当 x>0 时，f '(x)<0 ，
因此函数（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数。
2）构造函数 g(x)=[ln(x+1)]/x (x>0) ，
则 g '(x)=[x/(x+1)-ln(x+1)]/x^2=[x-(x+1)*ln(x+1)]/[(x+1)*x^2] ，
由1）知，当 x>0 时，x-(x+1)*ln(x+1)<0-(0+1)*ln(0+1)=0 ，
即 x>0 时，g '(x)<0 ，因此函数 g(x) 在（0，+∞）上为减函数，
所以，由 n>m>0 知 g(n)<g(m) ，
即 ln(n+1)/n<ln(m+1)/m ，
两端同乘以正数 mn 得 m*ln(n+1)<n*ln(m+1) ，
化为 ln(n+1)^m<ln(m+1)^n ，
所以，(n+1)^m<(m+1)^n 。

f(x)=x-(x+1)ln(x+1) f'(x)=1-ln(x+1)-(x+1)*1/(x+1)=-ln(x+1) f'(x)=-ln(x+1)>0,ln(x+1)<0,0<x+1<1,-1<x<0 f'(x)=-ln(x+1)<0,ln(x+1)>0,x+1>1,x>0 即单调增区间是(-1,0),单调减区间是(0,+无穷) (2) 两边取对数只需证：nln(1+m)>mln(1+n), 即 ln(1+m)/m>ln(1+n)/n. 记函数f(x)=ln(1+x)/x, 则 f'(x)=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2. 再令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x)=1-1/(x+1)-ln(1+x) 则 g'(x)=1/(x+1)^2-1/(1+x). 因为x>0, x+1>1,所以 1/(x+1)^2<1/(1+x), 从而g'(x)<0对任意x>0成立。 因此g(x)是单调递减函数，g(x)<g(0)=0,所以f'(x)=g(x)/x^2<0, 即f'(x)<0. 这样f(x)是单调递减函数，从而当n>m>0时， f(m)>f(n), 即 ln(1+m)/m>ln(1+n)/n, (1+m)^n>(1+n)^m.

解：令m=0，n=1，得f（1）=f（0）f（1）， 由题意得f（1）＞1，所以f（0）=1． 若x＜0，则f（x）f（-x）=f（x-x）=f（0）=1， 所以 f(x)=1/f(-x)． 由已知f（-x）＞1，得0＜f（x）＜1．

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