已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PA的中

已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，若在椭圆的右准线上存在一点P，使得线段PA的中垂线过点F，则该椭圆离心率e的取值范围为[12，1)[12，1)．

设P(
a2
c ，t)，∵A（-a，0），∴线段PA的中点M(
a2?ac
2 ，
t
2 )．
∵线段PA的中垂线过点F（c，0），∴




AP ?




MF ＝0，化为t2＝
(a2+ac)(2c2+ac?a2)
c2 ≥0，
∴2e2+e-1≥0，解得e≥
1
2 ．
又∵e＜1．
∴该椭圆离心率e的取值范围为[
1
2 ，1)．
故答案为[
1
2 ，1)．

解答： 解：由题意，椭圆上右准线上存在点p，使得线段ap的垂直平分线过点f，即f点到p点与a点的距离相等 而|fa|=a+c，如图， 又|fh|= a2 c ?c |pf|≥|fh|， 于是a+c≥ a2 c ?c即ac+2c2≥a2， ∴2e2+e-1≥0，e≥ 1 2 ，又e∈（0，1） 故e∈[ 1 2 ，1） 故答案为：[ 1 2 ，1）．

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