新定义：若x 0 =ax 0 2 +bx 0 +c成立，则称点(x 0 ,x 0 )为抛物线y=ax 2 +bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物

新定义：若x 0 =ax 0 2 +bx 0 +c成立，则称点(x 0 ,x 0 )为抛物线y=ax 2 +bx+c (a≠0)上的不动点.设抛物

（1）y=x 2 -x-3，（-1，-1）和(3，3)；（2）0＜a＜1；（3）-1或-2.

试题分析：（1）根据抛物线C过点(0，-3)，把抛物线C向左平移 个单位后其顶点恰好在y轴上，即可得到关于a、b的方程组，从而求得结果； （2）由抛物线C有两个不同点可得△＞0，即b 2 -4a(b-1)＞0，b 2 -4ab+4a＞0，再结合b为任意实数，且使得上式成立，可得(-4a) 2 -4×1×4a＜0，整理得a 2 -a＜0，即可求得结果； （3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入抛物线C得y=ax 2 -ax-(a+2)，根据x 1 与x 2 是抛物线C与x轴的交点横坐标可得△=a 2 +4a(a+2)＞0，即可求得字母a的范围，再结合根与系数的关系求解即可. （1）由题意得 ，解之得   ∴抛物线为y=x 2 -x-3 令x=x 2 -x-3，解之得x 1 =-1，x 2 =3   ∴不动点为（-1，-1）和(3，3)； （2）∵抛物线C有两个不同的不动点， ∴x=ax 2 +(b+1)x+(b-1)，整理得ax 2 +bx+(b-1)=0 ∵抛物线C有两个不同点，  ∴△＞0，即b 2 -4a(b-1)＞0，b 2 -4ab+4a＞0 ∵b为任意实数，且使得上式成立， ∴(-4a) 2 -4×1×4a＜0，整理得a 2 -a＜0， 从而得 或 ，解之得0＜a＜1    ∴实数a应在0＜a＜1； （3）由a+b+1=0得b=-a-1，代入抛物线C得y=ax 2 -ax-(a+2) ∵x 1 与x 2 是抛物线C与x轴的交点横坐标   ∴△=a 2 +4a(a+2)＞0，解得a＞0或a＜ 由根与系数的关系，得，x 1 +x 2 ="1," x 1 ·x 2 =  , ∴k=3+ =3+ = ( a＞0或a＜ ,且a为整数) 要使k为整数，取a= -4、-3、-1、0,其中a= -1、0不合题意，舍去； ∴存在 , . 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

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