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高中数学单调性问题~求解!!

答案:2  悬赏:0  手机版
解决时间 2021-05-09 20:32
  • 提问者网友:活着好累
  • 2021-05-09 03:05

设a>0,f(x)=(e^x)/a+a/(e^x)是R上的增函数。

(1)求a的值

(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数

最佳答案
  • 五星知识达人网友:野慌
  • 2021-05-09 04:12

我想 题目错了,如果题目是“f(x)=(e^x)/a+a/(e^x)是R上的增函数。”那么,何必“


(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数",呢,由题干就已知这个结果了呀,所以我把题目略改了一下如下:



设a>0,f(x)=(e^x)/a+a/(e^x)是R上的偶函数。


(1)求a的值


(2)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数


(1)解:因为a>0,f(x)=(e^x)/a+a/(e^x)是R上的偶函数,所以


f(x)=f(-x)
得(e^x)/a+a/(e^x)=e^(-x)/a+a/[(e^(-x))]
(e^x)/a+a/(e^x)=1/(ae^x)+ae^x
即(e^x)(1/a-a)+(a-1/a)/(e^x)=0
(a-1/a)[1/(e^x)-e^x]=0
由于x的任意性,只有a-1/a=0
即a^2-1=0
由a>0,故a=1.
(2)证明:
设 x1,x2∈(0,+∞),x1<x2
f(x1)-f(x2)=e^x1+1/e^x1-(e^x2+1/e^x2)=e^x1-e^x2+1/e^x1-1/e^x2


=(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2
x1,x2∈(0,+∞),e^x1e^x2-1>0,e^x1-e^x2<0
(e^x1-e^x2)(e^x1e^x2-1)/e^x1e^x2<0
f(x1)<f(x2)
所以,f(x)在(0,+∞)上是增函数


(证毕)


请检查原题目

全部回答
  • 1楼网友:千夜
  • 2021-05-09 05:39

1,0<a<e^x,

2,你都说f(x)=(e^x)/a+a/(e^x)是R上的增函数,当然在(0,+∞)上是增函数

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