已知偶函数f(x）=2sin(wx+ψ)(w>0,0<ψ<π)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间

已知偶函数f(x）=2sin(wx+ψ)(w>0,0<ψ<π)的最小正周期为π，求f(x)的单调递增区间

最小正周期为π
所以w=2
f(x）=2sin(2x+ψ)
偶函数f(x）=2sin(wx+ψ)，0<ψ<π
所以ψ=π/2
f(x）=2sin(2x+π/2)=2cos2x
单调递增区间：（kπ-2/π，kπ）

f(x)=sin(wx+φ)-cos(wx+φ) =√2[√2/2sin(wx+φ)-√2/2cos(wx+φ)] =√2sin(wx+φ-π/4) ∵函数y=f(x)图像的两相邻对线轴的距离为π/2. ∴f(x)的半周期t/2=π/2,t=π 【两相邻对线轴的距离为半周期】 由2π/|w|=π得|w|=2, ∵w>0 ∴w=2 （题目没给，应该给出,不然w=-2也可以） ∴f(x)=√2sin(2x+φ-π/4) ∵f(x)是偶函数 ∴f(-x)=f(x) ∴sin(-2x+φ-π/4)=sin(2x+φ-π/4) sin(-2x)cos(φ-π/4)+cos(-2x)sin(φ-π/4) =sin2xcos(φ-π/4)+cos2xsin(φ-π/4) ∴2sin2xcos(φ-π/4)=0 对任意的x∈r恒成立 ∵sin2x不恒等于0（sin2x是变量呀） ∴cos(φ-π/4)=0 即φ-π/4=kπ+π/2 ∴φ=kπ+3π/4,k∈z 取k=0,得φ=3π/4(题目应该给出φ范围） ∴f(x)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x ∴f(π/8)=√2cosπ/4=1 (2) y=f(x)的图像向右平移π/6个单位， 得到y=g(x)=f(x-π/6)=√2cos[2(x-π/6)] 即g(x)=√2cos(2x-π/3)的图像 由2kπ≤2x-π/3≤2kπ+π,k∈z 得kπ+π/6≤x≤kπ+2π/3,k∈z ∴g(x)单调递减区间为 [ kπ+π/6,kπ+2π/3],k∈z

因为最小正周期是兀 w=2兀/兀 w=2 2k兀-兀/2<=2x+

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