是否存在无穷个正整数使得m^2+n^2+1整除nm为什么
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解决时间 2021-11-23 08:44
- 提问者网友：十年饮冰
- 2021-11-22 14:52
是否存在无穷个正整数使得m^2+n^2+1整除nm为什么
最佳答案
- 五星知识达人网友：风格不统一
- 2021-11-22 15:27
解：
1）
当m,n为m=1,n=1时，
mn=1
m²+n²+1=3
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立
当m,n为m=1,n=2时，
mn=2
m²+n²+1=1+1+4=6
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立
2）
令当m,n取M和N，即：m=M,n=N时也成立，即：
(M²+N²+1)/(MN) = K，K为正整数，探求当m>M，或者n>N时，是否原式仍然成立，如果成立，那么必定存在无数个正整数使得原式成立；
∵M²+N²+1=KMN
∴M²-KMN+N²+1=0，不失一般性，将该式看成是M的二元一次方程，则：
M={KN±√[(K²N²)-4N²-4]}/2
显然，当K²N² ≥4N²+4时，M有解，
令K²N²=4N²+4+X²，X∈正整数，则：
1）
当m,n为m=1,n=1时，
mn=1
m²+n²+1=3
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立
当m,n为m=1,n=2时，
mn=2
m²+n²+1=1+1+4=6
显然m²+n²+1可以整除mn，原式成立
2）
令当m,n取M和N，即：m=M,n=N时也成立，即：
(M²+N²+1)/(MN) = K，K为正整数，探求当m>M，或者n>N时，是否原式仍然成立，如果成立，那么必定存在无数个正整数使得原式成立；
∵M²+N²+1=KMN
∴M²-KMN+N²+1=0，不失一般性，将该式看成是M的二元一次方程，则：
M={KN±√[(K²N²)-4N²-4]}/2
显然，当K²N² ≥4N²+4时，M有解，
令K²N²=4N²+4+X²，X∈正整数，则：
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