等腰三角形的论证

如图，AD是三角形ABC的边BC上的高（1）若已知AB+BD=AC+CD,求证三角形ABC为等腰三角形；（2）若已知AB-BD=AC-CD,求证三角形ABC为等腰三角形。

(1)假设AB＞CD,则∠B＜∠C(大边对大角）

   则∠BAD＞∠CAD

   则BD＞CD

  ∴AB+BD=AC+CD不成立，假设失败

   同理AB＜CD也不成立

   ∴AB=CD

1、证明：  ∵AD为高  ∴AB²+BD²=CD²+AC²   ① 又∵AB+CD=AC+BD  ∴两边同平方得AB²+CD²+2AB*CD=AC²+BD²+2AC*BD ② 将①②两边加起来得AB*(AB+CD)=AC*(AC+BD)  ∵AB+CD=AC+BD  ∴AB=AC 2、由勾股定理有 AB^2 - BD^2 = AD^2 = AC^2 - CD^2 所以(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD) 因为AB-BD=AC-CD 所以AB+BD=AC+CD 所以AB=AC 懂了吗？ 希望能帮到你 O(∩_∩)O~

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