抛物线y=x的平方+2mx+n过点(2,4)且其顶点在直线y=2x+1上,求此二次函数的关系式

抛物线y=x的平方+2mx+n过点(2,4)且其顶点在直线y=2x+1上,求此二次函数的关系式

解：y=x^2+2mx+n即y=(x+m)^2+n-m^2

所以顶点坐标为(-m,n-m^2)，因为在直线y=2x+1上

所以n-m^2=2*(-m)+1 (*)

又因为抛物线过点(2,4)所以4=2^2+2m*2+n (**)

由(*)(**)解得m=-1,n=4

所以抛物线的关系式为y=x^2-2x+4

抛物线y=x的平方+2mx+n=(x+m)^2+n-m^2

顶点为（-m,n-m^2) 在y=2x+1上，有n-m^2=-2m+1

又（2，4）在抛物线上，有4=4+4m+n n=-4m代入上式解得

m=(-3+√5）/2 或=(-3－√5）/2

n＝6－2√5 或6＋2√5

y＝x^2+(-3+√5)x+6-2√5或y＝x^2+(-3－√5)x+6＋2√5

y=x^2+2mx+n=(x+m)^2-m^2+n 顶点是x=-m，y=-m^2+n 所以-m^2+n=-2m+1

m^2-2m+1=n

4=4+4m+n 4m+n=0

n=-4m

m^2-2m+1=-4m

m^2+2m+1=0

m=-1 n=4

y=x^2-2x+4

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