在三角形ABC中，若角ACB不是直角，角B等于60度，AD、CE分别是角BAC、角ACB的平分线，AD、CE相交于点F。请判断FE与FD之间的数量关系。

在三角形ABC中，若角ACB不是直角，角B等于60度，AD、CE分别是角BAC、角ACB的平分线，AD、CE相交于点F。请判断FE与FD之间的数量关系。

 分析：①首先过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FM=FN，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，求得∠NEF=75°=∠MDF，又由∠DMF=∠ENF=90°，利用AAS，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD；
②过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，根据角平分线的性质，可得FN=FM，由∠ABC=60°，即可求得∠MFN=120°，∠EFD=∠AFC=120°，继而求得∠DFM=∠DFE，利用ASA，即可证得△DMF≌△ENF，由全等三角形的对应边相等，即可证得FE=FD．
解答：解：①相等，
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=1 2 ∠BAC=15°，
∴∠CDA=75°，
∵∠MFC=45°，∠MFN=120°，
∴∠NFE=15°，
∴∠NEF=75°=∠MDF，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENF ∠MDF=∠NEF MF=NF   ，
∴△DMF≌△ENF（AAS），
∴FE=FD；

②成立．
过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF，
∵F是角平分线交点，
∴BF也是角平分线，
∴MF=FN，∠DMF=∠ENF=90°，
∴四边形BNFM是圆内接四边形，
∵∠ABC=60°，
∴∠MFN=180°-∠ABC=120°，
∵∠CFA=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°-1 2 （∠ABC+∠ACB）=180°-1 2 （180°-∠ABC）=180°-1 2 （180°-60°）=120°，
∴∠DFE=∠CFA=∠MFN=120°．
又∵∠MFN=∠MFD+∠DFN，∠DFE=∠DFN+∠NFE，
∴∠DFM=∠NFE，
在△DMF和△ENF中，
∠DMF=∠ENF MF=NF ∠DFM=∠NFE  
∴△DMF≌△ENF（ASA），
∴FE=FD．

FE＝FD 证明：在AC上取点G，使AG＝AE，连接FG ∵∠B＝60 ∴∠BAC+∠ACB＝180-∠B＝120 ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB ∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC/2, ∠ACE＝∠BCE＝∠ACB/2 ∴∠AFE＝∠CFD＝∠CAD+∠ACE＝（∠BAC+∠ACB）/2＝60 ∴∠AFC＝180-∠AFE＝120 ∵AG＝AE，AF＝AF ∴△AFG≌△AFE （SAS） ∴∠AFG＝∠AFE＝60，FG＝FE ∴∠CFG＝∠AFC-∠AFG＝60 ∴∠CFG＝∠CFD ∵CF＝CF ∴△CFG≌△CFD ∴FG＝FD ∴FE＝FD

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