初二暑假作业中的数学题

24．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕着矩形ABCD的对角线交点O旋转（如图所示）．已知AB＝8，BC＝10，图中M、N分别为直角三角板的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

（1）求证：BN²＋DM²＝CN²＋CM²；

 

 

 

 

1)证明：直线MO交矩形边AB于E

 因为矩形是中心对成图形，O是矩形中心

所以BE=DM

连接EN和MN，所以BN^2+DM^2=BN^2+BE^2=NE^2

  而CN^2+CM^2=NM^2

 因为O是ME中点，NO⊥ME，所以ON是ME的垂直平分线，故而NM=NE

因此BN^2+DM^2=CN^2+CM^2

2）根据第一小题的证明题：BN^2+DM^2=CN^2+CM^2

  所以(10-y)^2+x^2=y^2+(8-x)^2，化简得到y=4/5x+9/5

 显然S四边形OMCN=S三角形BCD-S三角形BNO-S三角形DMO

    =1/2*8*10-1/2(10-y)*4-1/2*x5

    =20+2y-5/2x

    = -9/10x+118/5

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