设D是有界闭区域，下列命题中错误的是（　　）A．若f（x，y）在D连续，对D的任何子区域D0均有?D0f（x，y

设D是有界闭区域，下列命题中错误的是（　　）

A．若f（x，y）在D连续，对D的任何子区域D0均有
?
D0 f（x，y）dσ=0，则f（x，y）≡0（?（x，y∈D）
B．若f（x，y）在D可积，f（x，y）≥0但不恒等于0（（x，y）∈D，则
?
D f（x，y）＞0
C．若f（x，y）在D连续，
?
D f2（x，y）dσ=0，则f（x，y）≡0（（x，y）∈D）
D．若f（x，y）在D连续，f（x，y）＞0（（x，y）∈D），则
?
D f（x，y）dσ＞0

选项A正确：
如果f（x，y）≡0不成立，则存在P0（x0，y0）∈D，使得f（x0，y0）≠0，不妨设f（x0，y0）＞0．
由连续函数的性质可得，
lim
(x，y)→(x0，y0) f(x，y)=f（x0，y0），
对于?＝
f(x0，y0)
2 ＞0，存在δ＞0，当（x，y）∈D0={（x，y）|



(x?x0)2+(y?y0)2 ＜δ} 时，
|f（x，y）-f（x0，y0）|＜
f(x0，y0)
2 ，
从而 f（x，y）＞f（x0，y0）-
f(x0，y0)
2 =
f(x0，y0)
2 ．
对于D0={（x，y）|



(x?x0)2+(y?y0)2 ＜δ}，

?
D0 f(x，y)dxdy＞
f(x0，y0)
2 ?πδ2＞0，
与已知矛盾．
故假设不成立，从而f（x，y）≡0．
选项B错误：
取D={（x，y）|x2+y2≤1}，f（x，y）=







0，  0＜x2+y2≤1
1，  (x，y)＝(0，0) ，则f（x，y）≥0且恒不为0，但
?
D f(x，y)dxdy=0．
选项C正确：
因为f（x，y）在D连续，故f2（x，y）在D连续．
因为
?
D f2(x，y)dxdy=0，
故对于对D的任何子区域D0均有0≤
?
D0 f2(x，y)dxdy≤
?
D f2(x，y)dxdy=0，
故
?
D0 f2(x，y)dxdy=0．
从而由选项A可得，f2（x，y）≡0，故f（x，y）≡0．
选项D正确：
若f（x，y）在D连续，则f（x，y）在D上可积．
利用积分中值定理可得，存在P（ξ，η）∈D，
使得
?
D f(x，y)dxdy=f（ξ，η）meas（D）．
又因为f（x，y）＞0，
故
?
D f(x，y)dxdy＞0．
综上，错误选项为B．
故选：B．

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