设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，且A,B可交换，A-B可逆，证明（A+B）(A-B)^(-1)是正交矩阵
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解决时间 2021-03-23 03:51
- 提问者网友：骑士
- 2021-03-22 18:47
设A为对称矩阵，B为反对称矩阵，且A,B可交换，A-B可逆，证明（A+B）(A-B)^(-1)是正交矩阵
最佳答案
- 五星知识达人网友：你哪知我潦倒为你
- 2021-03-22 20:12
[（A+B）(A-B)^(-1)] ^T [（A+B）(A-B)^(-1)]
=[(A-B)^(-1)]^T（A+B）^T[（A+B）(A-B)^(-1)]
=[(A-B)^T]^(-1)（A+B）^T[（A+B）(A-B)^(-1)]
=(A^T-B^T)^(-1)（A^T+B^T）[（A+B）(A-B)^(-1)]
=(A+B)^(-1)（A-B）（A+B）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A^2-BA+AB-B^2）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A^2+AB-BA-B^2）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A^2+BA-AB-B^2）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A+B)(A-B）(A-B)^(-1)
=[(A+B)^(-1)（A+B)][(A-B）(A-B)^(-1)]
=EE
=E
因此
（A+B）(A-B)^(-1)是正交矩阵
=[(A-B)^(-1)]^T（A+B）^T[（A+B）(A-B)^(-1)]
=[(A-B)^T]^(-1)（A+B）^T[（A+B）(A-B)^(-1)]
=(A^T-B^T)^(-1)（A^T+B^T）[（A+B）(A-B)^(-1)]
=(A+B)^(-1)（A-B）（A+B）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A^2-BA+AB-B^2）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A^2+AB-BA-B^2）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A^2+BA-AB-B^2）(A-B)^(-1)
=(A+B)^(-1)（A+B)(A-B）(A-B)^(-1)
=[(A+B)^(-1)（A+B)][(A-B）(A-B)^(-1)]
=EE
=E
因此
（A+B）(A-B)^(-1)是正交矩阵
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