已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|

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解决时间 2021-01-28 05:36

提问者网友：风月客
2021-01-27 16:12

已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．

最佳答案

五星知识达人网友：傲气稳了全场
2021-01-27 16:43

证：∵|z1-
.

z2 |=|1-z1z2|
∴|z1-
.

z2 |2=|1-z1z2|2．
∴（z1-
.

z2 ）
.

(z1?
.

z2 ) =（1-z1z2）
.

(1?z1z2) ．
∴（z1-
.

z2 ）（
.

z1 -z2）=（1-z1z2）（1-
.

z1
.

z2 ）．
化简后得z1
.

z1 +z2
.

z2 =1+z1z2
.

z1
.

z2 ．
∴|z1|2+|z2|2=1+|z1|2?|z2|2．
∴（|z1|2-1）（|z2|2-1）=0．∴|z1|2=1，或|z2|2=1．
∴|z1|，|z2|中至少有一个为1．

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1楼网友：七十二街
2021-01-27 16:55

由z1=2+i且z1?z2=3+4i，若|z1|＞|z2|，根据给出的定义运算，则z2＝ 3+4i 2+i ＝ (3+4i)(2?i) (2+i)(2?i) ＝ 10+5i 5 ＝2+i 此时|z1|＝|z2|＝ 22+12 ＝ 5 ，与|z1|＞|z2|矛盾．若|z1|≤|z2|，根据给出的定义运算，则z2=（3+4i）-（2+i）=1+3i．此时|z1|＝ 5 ，|z2|＝ 12+32 ＝ 10 ，符合|z1|≤|z2|．所以，复数z2=1+3i．故选b．

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