一道高中数学难题

过抛物线x^2=4y的对称轴上一点P（0，m）（m＞0）作直线l，交抛物线于A,B两点，若∠AOB为锐角（O为坐标原点），则实数m的取值范围是（）A.(-4,4) B.(- ∞，4） C.(0,4) D.(4,+∞）

选D.设l的方程为y=kx+m,代入x^2=4y，得到x^2-4kx-4m=0,∵m＞0，∴△=16k^2+16m＞0恒成立设A(x1，y1） B（x2，y2）则x1+x2=4k x1x2=-4m又∠AOB为锐角 ∴向量OA*向量OB＞0即（x1，y1）*（x2，y2）=（1+k^2)x1x2+km(x1+x2)+m^2＞0m^2-4m＞0∵m＞0 ∴m＞4

这种题目都是代数题目，不需要严格计算的，太浪费时间了，一看就知道，几个关键值，首先m>0 就排除了A、B，然后 取m=4这个数，你得到2个坐标轴点A（-4，4），B（4，4），根据向量知识，角AOB刚好90，结合抛物线开口向上和坐标原点的夹角的变化规律，你会发现了规律了，答案是D ，关键是要画个坐标图，指定特定值，然后代数计算发现规律，通常选择题很少需要大量计算去获取最终答案的，都是有捷径可寻的

c

设直线为y=kx+m 解方程组可得A,B点坐标 根据向量OB,OA的积在AOB=90度时等于零可得m=4 所以m>4时AOB是锐角 m<4时AOB是钝角 所以题中答案为m>4

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