急需像韦达定理那样的高中数学解题知识。
答案:4 悬赏:0 手机版
解决时间 2021-02-23 15:57
- 提问者网友：辞取
- 2021-02-23 03:28
急需像韦达定理那样的高中数学解题知识。
最佳答案
- 五星知识达人网友：山君与见山
- 2021-02-23 05:00
主要是一些生僻的，没怎么听过或者还不是非常了解的定理及介绍
平面几何
1、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明方法：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
2、塞瓦定理
塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》塞瓦定理是塞瓦的重大发现。 在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证明方法：可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
3、托勒密定理
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
证明方法：在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.
则△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,
所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
4、西姆松定理
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
证明方法：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.
易证P、B、D、F及P、F、C、E和A、D、P、E分别共圆，
在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∠ABP=∠DBP
于是∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠DFP+∠PFE=180° ④ 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、
证明一（图）B、P、C共圆.
5、蝴蝶定理【PS：这个是万恶的、证明了半天我都木有证出来、结果看答案、简单啊、易懂啊】
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
证明方法：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 （PS：右图是西姆松定理）
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
我知道这方法很简单、构造相似和四点同圆、小胖啊、唐小勇啊、我们一起泪奔吧、、
6、费马点
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点判定：（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的数学意义：到三角形三顶点距离之和最小的点。
7、重心
定义不解释、再要我解释自己就别做高中生了，丢脸不？
它是到三角形三顶点距离平方之和最小的点。
它还是到三边距离之积最大的点。
8、解析法解题、不解释、你不怕麻烦就用吧、
不等式
这个自己搞吧、均值，排序、柯西、琴生、切比雪夫、都是要了解的【PS：有一个推荐记住1/(a+b)<=1/4(1/a+1/b)、其实就是(a-b)2>=0的一个推论】
切比雪夫不等式有两个
（1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)
（2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi)
琴生不等式
设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
【以下的不等式不建议看】
完全的均值不等式
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
幂平均不等式
ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
加权的形式：
设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。
特例：
- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）
权方和不等式
1）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，m>0 或 m<-1
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
2）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，-1<m<0
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
权方和不等式的等价形式：
（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^(1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^(1/q)
上式中1/p+1/q=1,ai,bi为正实数
立体几何
数学选修书上的基本定理记住、实在不行建立空间直角坐标系、或者用向量法、不解释
代数
利用周期性，奇偶性
三角形的基本变换
同余的N多内容（欧拉函数、同余的N多等式、孙子定理、还有费马小定理）
最大公约数，最小公倍数，阿基米德辗转相除法等等
平面几何
1、梅涅劳斯定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。
证明方法：过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1
2、塞瓦定理
塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》塞瓦定理是塞瓦的重大发现。 在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
证明方法：可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
3、托勒密定理
托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．
证明方法：在任意凸四边形ABCD中(如右图)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.
则△ABE∽△ACD
所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)
由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD,
所以△ABC∽△AED.
BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2)
(1)+(2),得
AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC
又因为BE+ED≥BD
（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）
4、西姆松定理
西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上。
证明方法：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP.
易证P、B、D、F及P、F、C、E和A、D、P、E分别共圆，
在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度，∠ABP=∠DBP
于是∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE
② 而∠ACP+∠PCE=180°
③ ∴∠DFP+∠PFE=180° ④ 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、
证明一（图）B、P、C共圆.
5、蝴蝶定理【PS：这个是万恶的、证明了半天我都木有证出来、结果看答案、简单啊、易懂啊】
蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
证明方法：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM，SM，MT。 （PS：右图是西姆松定理）
∵△AMD∽△CMB
∴AM/CM=AD/BC
∵SD=1/2AD，BT=1/2BC
∴AM/CM=AS/CT
又∵∠A=∠C
∴△AMS∽△CMT
∴∠MSX=∠MTY
∵∠OMX=∠OSX=90°
∴∠OMX+∠OSX=180°
∴O，S，X，M四点共圆
同理，O，T，Y，M四点共圆
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX
∴∠MOX=∠MOY ，
∵OM⊥PQ
∴XM=YM
我知道这方法很简单、构造相似和四点同圆、小胖啊、唐小勇啊、我们一起泪奔吧、、
6、费马点
在一个三角形中，到3个顶点距离之和最小的点叫做这个三角形的费马点。
费马点判定：（1）对于任意三角形△ABC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最小值,则取到最小值时E为费马点。
（2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
费马点的数学意义：到三角形三顶点距离之和最小的点。
7、重心
定义不解释、再要我解释自己就别做高中生了，丢脸不？
它是到三角形三顶点距离平方之和最小的点。
它还是到三边距离之积最大的点。
8、解析法解题、不解释、你不怕麻烦就用吧、
不等式
这个自己搞吧、均值，排序、柯西、琴生、切比雪夫、都是要了解的【PS：有一个推荐记住1/(a+b)<=1/4(1/a+1/b)、其实就是(a-b)2>=0的一个推论】
切比雪夫不等式有两个
（1）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那么，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)
（2）设存在数列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn满足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那么，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi)
琴生不等式
设f(x)为上凸函数，则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,称为琴生不等式（幂平均）。
加权形式为：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
【以下的不等式不建议看】
完全的均值不等式
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次幂平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均）
幂平均不等式
ai>0(1≤i≤n),且α>β，则有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 时取等号
加权的形式：
设ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，则有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 时取等号。
特例：
- 调和平均（-1次幂）， - 几何平均（0次幂）， - 算术平均（1次幂）， ， - 二次平均（2次幂）
权方和不等式
1）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≥ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，m>0 或 m<-1
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
2）
a1 ^ （m+1） / b1^m + a2 ^ （m+1） / b2^m + a3 ^ （m+1） / b3^m + …… + an ^ （m+1） / bn^m ≤ (a1+a2+a3+ …… +an) ^ （m+1） / (b1+b2+b3+ …… +bn)^m
其中
a,b,n为正整数，-1<m<0
当且仅当a1/b1=a2/b2=...=an/bn时，等号成立
权方和不等式的等价形式：
（Holder不等式）：∑[i=1，n]ai*bi≤（∑[i=1，n]ai^p）^(1/p) * （∑[i=1,n]bi^q)^(1/q)
上式中1/p+1/q=1,ai,bi为正实数
立体几何
数学选修书上的基本定理记住、实在不行建立空间直角坐标系、或者用向量法、不解释
代数
利用周期性，奇偶性
三角形的基本变换
同余的N多内容（欧拉函数、同余的N多等式、孙子定理、还有费马小定理）
最大公约数，最小公倍数，阿基米德辗转相除法等等
全部回答
- 1楼网友：人间朝暮
- 2021-02-23 09:03
你是打算搞竞赛吗？
- 2楼网友：痴妹与他
- 2021-02-23 07:38
很简单，查询数学公式表
- 3楼网友：鸽屿
- 2021-02-23 06:24
若求三角形的面积，已知三边a,b,c，最好用秦九昭公式
我要举报
如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！
点此我要举报以上问答信息
大家都在看
推荐资讯