已知点A的坐标为（-4，4），直线l的方程为3x+y-2=0，求：（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；（2）直线

已知点A的坐标为（-4，4），直线l的方程为3x+y-2=0，求：
（1）点A关于直线l的对称点A′的坐标；
（2）直线l关于点A的对称直线l′的方程．

（1）设点A′的坐标为（x′，y′）．
因为点A与A′关于直线l对称，所以AA′⊥l，且AA′的中点在l上，而直线l的斜率是-3，所以kAA'′=
1
3 ．
又因为kAA'=
y′?4
x′+4 ，所以
y′?4
x′+4 ＝
1
3 …①．
再因为直线l的方程为3x+y-2=0，AA′的中点坐标是（
x′?4
2 ，
y′+4
2 ），所以3?
x′?4
2 +
y′+4
2 -2=0…②．
由①和②，解得x′=2，y′=6．所以A′点的坐标为（2，6）．
（2）关于点A对称的两直线l与l′互相平行，于是可设l′的方程为3x+y+c=0．在直线l上任取一点M（0，2），其关于点A对称的点为M′（x′，y′），于是M′点在l′上，且MM′的中点为点A，由此得
x′+0
2 ＝?4，
y′+2
2 ＝4，即：x′=-8，y′=6．
于是有M′（-8，6）．因为M′点在l′上，
所以3×（-8）+6+c=0，∴c=18．
故直线l′的方程为3x+y+18=0．

解：（ⅰ）设点a关于直线l的对称点 a´的坐标为(a,b)，则可知： 点a.a'连线与直线l互相垂直，且线段aa'的中点在直线l上 又直线aa'的斜率为(b-4)/(a+4)，直线l的斜率为－3，且线段aa'的中点坐标为( (-4+a)/2,(4+b)/2 ) 所以：[(b-4)/(a+4)]*(-3)=-1，3*(-4+a)/2 +(4+b)/2 -2=0 即{3b-12=a+4 {-12+3a+4+b-4=0 化简得： ｛a-3b=-16 (1) ｛3a+b=12 (2) (1)*3-(2)可得： -10b=-60 解得b=6，a=2 所以点a关于直线l的对称点 a´的坐标为(2,6) （ⅱ）取直线l上任意一点p(x0,y0)，该点关于点a对称点p'坐标为(x,y)， 则可知：点a是线段pp'的中点 由中点公式可得： x0+x=-8，y0+y=8 即x0=-8-x，y0=8-y （*） 又点p(x0,y0)在直线l：3x+y-2=0上，则将（*）代入直线l方程可得： 3*(-8-x)+(8-y)-2=0 即-3x-y-18=0 3x+y+18=0 这就是直线l关于点a对称的直线l´的方程。

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