高一数学平面向量

三角形ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且角B的余弦值为四分之三。

设向量BA乘以向量BC等于二分之三，求a+c的值

由题知：b2=ac,cosB=3/4,ca(cosB)=3/2,

联立的：ac=2,b2=2

又  cosB=(a2+c2-b2)/2ac

所以  a2+c2=5

所以  (a+c)2=a2+c2+2ac=9

所以  a+c=3

一、基本知识： 1．向量的概念及其表示方法：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。2．向量的运算向量运算定义坐标运算运算律加法己知向量 、 ，在平面内任取一点 ，解 ， ，则向量 叫做 与 的和，记作 ；求两个向量和的运算，叫做向量的加法。减法向量 加上 的相反的向量，叫做 与 的差；求两个向量差的运算，叫做向量的减法实数与向量的积，其中当 与 同向， ；当 时 与 反向， 向量的数量职二、重要定理、公式 1．平面向量基本定理：若 、 是同一平面内的两个不共线的向量，那么，对该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 ，使 2．两个向量平行的充要条件：∥ 若 ， 则∥ 3．两个非零向量垂直的充要条件：若 ， 则4．线段的定比分点坐标公式：设 ， ， ，且 ，则当 时，得中点坐标公式 5．平移公式：若点 按向量 平移至 ，则 6．正弦定理、余弦定理：（1）正弦定理： （2）余弦定理：三、学习要求和需要注意的问题 1．学习要求（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。（2）掌握向量的加法与减法的运算法则及运算律。（3）掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。（4）了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量可以处理有关长度、角度和垂直问题，掌握向量垂直的条件（6）掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟悉运用；掌握平移公式。（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。（8）通过解三角形的应用学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。2．需要注意的问题（1）这一章里，我们学习的向量具有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量。（2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础。（3）向量的数量积是一个数，当两个向量的夹角是锐角时，它们的数量积大于0；当两个向量的夹角是钝角时，它们的数量积小于0；当两个向量的夹角是90°时，它们的数量积等于0，零向量与任何向量的数量积等于0。（4）通过向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角、判断相应的两条直线是否垂直。（5）数量积不满足结合律，这是因为 与 的结果都是数量，所以 与 都没有意义，当然就不可能相等。

a,b,c成等比数列，则可表示为a，ar,ar^2 余弦定理：(ar)^2=a^2+(ar^2)^2-2a(ar^2)cosB 整理得2r^4-5r^2+2=0 r=1/√2 或 r=√2 所以三边的比为1:√2:2或者2:√2:1 因此不妨令a为最短边（若令c为最短边，结果一致） 从三角函数关系易得sinB=√7/4 通过正弦定理，sinA=√7/(4√2), sinC=√7/(2√2) 通过余弦定理，或sin^2+cos^2=1可以求出 cosA=5/(4√2), cosC=-1/(2√2) cotA+cotC=5/√7-1/√7=4/√7 a*c*cosB=3/2 得ac=2, c=2a =>a=1, c=2 a+c=3

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