已知AB=2c（c＞0），以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD，若椭圆以A，B为焦点，且过C，D两点

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解决时间 2021-03-05 22:16

提问者网友：謫仙
2021-03-05 04:18

如图，已知AB=2c（常数c＞0），以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD，且AB∥CD，若椭圆以A，B为焦点，且过C，D两点，求椭圆的离心率范围

是离心率的范围啊啊

最佳答案

五星知识达人网友：我住北渡口
2021-03-05 04:51

设CA=a1，CB=a2，则a1+a2=2a（椭圆的长轴长）
由于AB是直径，则CA⊥CB。
则a1²+a2²=(2c)²=4c²
→(a1+a2)²=4c²+2·a1·a2
即4a²=4c²+2·a1·a2
注意a1·a2为△ABC面积的2倍，设h为C到AB的距离，则2·S△ABC=a1·a2 = (2c)·h
→4a²=4c²+4c·h
a²=c²+c·h
→(c/a)²+(c/a)·(h/a)=1
即e²+e·(h/a)=1
h/a = 1/e - e
由于0 0< h/a →0< 1/e - e →(√2)/2

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1楼网友：未来江山和你
2021-03-05 07:44

r1+r2=2a r1^2+r2^2=4c^2 得r1*r2=2a^2-2c^2 有r1*r2e>(2^0.5)/2

2楼网友：低血压的长颈鹿
2021-03-05 06:30

设A（-c，0），B（c，0），因为ABCD为圆内接梯形且AB//CD，因此不妨设x＞0，则有C（x，y），D（-x，y），且有x²+y²=c²（0＜x＜c），C、D同在椭圆上，椭圆焦点为A、B，设椭圆长短轴分别为2a和2b，椭圆方程则为x²/a²+y²/b²=1，两方程联立，消去y²，化简可得2/ρ²+x²/c²=1/ρ^4，设t=1/ρ²，则2t+x²/c²=t²即x²/c²=t²-2t，因为0＜x＜c，所以0＜x²/c²＜1即0＜t²-2t＜1，另外，由于t=1/ρ²，而0＜ρ＜1，则必有t＞1，综合不等式结果，有2＜t＜1+√2，则√2-1＜ρ²＜1/2，因此√（√ 2-1）＜ρ＜√2/2

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