已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f(1)=2,求f(2009)的值

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解决时间 2021-08-15 12:16

提问者网友：趣果有间
2021-08-14 23:32

最佳答案

五星知识达人网友：有你哪都是故乡
2021-08-15 00:32

因为f(x)是在R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，所以
f(x)=f(-x)
g(x)=-g(-x)
由题意,及g(x)=f(x-1)可知
f（x）=g(x+1)（设x+1为t，则g(t)=f(t-1)即为g(x+1)=f（x））
=-g(-x-1)（g(x)是R上的奇函数）
=-f(-x-2）（设-x-1为t，则g(t)=f(t-1)即为g(-x-1)=f（-x-2））
=-f(x+2)（f(x)是在R上的偶函数）

所以f（x）=-f（x+2）=f（x+4）
即f（x）是以4为周期的周期函数
所以f(2009)=f（2009-4*502）=f（1）=2

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1楼网友：痴妹与他
2021-08-15 03:50

f（x）是偶函数，g（x）是奇函数

所以f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x）

因为g（x）=f（x-1）

所以f（x）=g（x+1）

由奇函数性质可得f（x）=g（x+1）=-g（-x-1）

由g（x）=f（x-1）可得-g（-x-1）=-f（-x-2）

由偶函数性质可得-f（-x-2）=-f（x+2）

所以f（x）=-f（x+2）=f（x+4）

因此f（2009）=f（1）=2

2楼网友：何以畏孤独
2021-08-15 02:10

因为g(x)在R上是奇函数所以g(-x)=-g(x),g(x)=f（x-1)的f(x)关于(1，0)对称因为f(1)=2所以

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