射影定理问题

射影定理的含义、证明、应用.最好附带图和一部分例题.

射影　　射影就是正投影，从一点到过顶点垂直于底边的垂足，叫做这点在这条直线上的正投影。一条线段的两个端点在一条直线上的正投影之间的线段，叫做这条线段在这直线上的正投影，即射影定理。 [编辑本段]直角三角形射影定理　　直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
　　公式 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射影定理如下：
　　（1）（BD）^2;=AD·DC，
　　（2）（AB）^2;=AD·AC ，
　　（3）（BC）^2;=CD·AC 。
　　证明：在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC，又∵∠BDA=∠BDC=90°，∴△BAD∽△CBD相似，∴ AD/BD＝BD/CD，即（BD）²=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明)
　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：
　　（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，
　　即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2;。
　　这就是勾股定理的结论。 [编辑本段]任意三角形射影定理　　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：
　　设⊿ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有
　　a＝b·cosC＋c·cosB，
　　b＝c·cosA＋a·cosC，
　　c＝a·cosB＋b·cosA。
　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。
　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且
　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。

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