求极限lim[x→0+](x^x-(sinx)^x)/(x^2ln(1+x))

求极限lim[x→0+](x^x-(sinx)^x)/(x^2ln(1+x))

解：
分析：方法还是比较多的，不知道你学到那个阶段了，这里只用比较简单的初级的，泰勒定理的就不用了！
这种题，首先考虑应用等价无穷小替换！
显然：ln(1+x) ～ x
分母等价为：x³
对于分子：
(x^x)·[1-(sinx/x)^x]
(x^x)·{1-e^[xln(sinx/x)]}
∵
lim(x→0+) xln(sinx/x)
=0
∴
1-e^[xln(sinx/x)] ～ -xln(sinx/x)
-xln(sinx/x)= -x ln[1+(sinx-x)/x]
ln[1+(sinx-x)/x] ～ (sinx-x)/x
∴
1-e^[xln(sinx/x)] ～ x-sinx
根据基本公式：
x-sinx ～ (1/6)x³
∴
分子等价于：(x^x)(1/6)x³
而：
lim(x→0+) x^x
=e^lim(x→0+) xlnx
=e^lim(x→0+) lnx/(1/x)
=e^lim(x→0+) (1/x)/(-1/x²)
=1
综合：
原极限
=lim(x→0+) (x^x)·[1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) [1-(sinx/x)^x]/x³
=lim(x→0+) {1-e^[xln(sinx/x)]}/x³
=lim(x→0+) -xln(sinx/x)]/x³
=lim(x→0+) -xln[1+(sinx-x)/x]]/x³
=lim(x→0+) -x·[(sinx-x)/x] / x³
=lim(x→0+) (x-sinx)/x³
=1/6

解：分享一种解法，用"无穷小量替换"求解。
∵x→0时，e^x~1+x、ln(1+x)~x，且x→0时，xlnx→0、xln(sinx)→0，
∴x^x-(sinx)^x=e^(xlnx)-e^[xln(sinx)]~xlnx-xln(sinx)。∴原式=lim(x→0)(lnx-lnsinx)/x^2。
又，x→0时，sinx~x-(1/6)x^3，∴lnx-lnsinx~lnx-ln[x(1-x^2)/6]=-ln(1-x^2)/6~(1/6)x^2，
∴原式=(1/6)lim(x→0)(x^2)/x^2=1/6。
供参考。追问分子为什么能用等价无穷小替换呢？x^x与(sinx)^x都不是因式啊？追答通过变形，如x^ x=e^(xlnx)，当x趋于0时，xlnx也趋于0，满足了替换条件，就可以替换处理了。

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