【锥面】求锥面z=√x^2+y^2与半球面z=√1-x^2-y^2所围成的立体的体积

【锥面】求锥面z=√x^2+y^2与半球面z=√1-x^2-y^2所围成的立体的体积

【答案】 两个办法：一个是用积分,一个是用立体角
　　①用积分
　　用球面坐标,设半径r与z轴夹角为φ,r在XOY平面上投影与x轴夹角为θ
　　则积分区域为：0≤r≤1,0≤φ≤π/4,0≤θ≤2π
　　两曲面所围成立体体积为
　　V=∫dV=∫∫∫dxdydz=∫∫∫r²sinφdrdφdθ
　　=∫r²dr*∫sinφdφ*∫dθ
　　=1/3*[-cosφ]*2π
　　=2π/3*(1-√2/2)
　　②用立体角
　　圆锥z=√(x²+y²)顶角为π/2
　　半球z=√[1-(x²+y²)]为单位球,半径为1
　　顶角为2θ的圆锥的立体角为一个单位球的球冠,即Ω=2π(1-cosθ)
　　∴上述圆锥的立体角为Ω=2π[1-cos(π/4)]=2π(1-√2/2)
　　半球立体角为2π,体积为2πr³/3=2π/3
　　圆锥立体角为2π(1-√2/2),体积为V
　　锥体体积与对应立体角成正比,则有 V/(2π/3)=[2π(1-√2/2)]/(2π)
　　解得 V=2π/3*(1-√2/2)

我学会了

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