在三角形ABC内有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度证明三角形ABC是等腰三角形

在三角形ABC内有一点P,使角PAB=10度,角PBA=20度,角PCA=30度,角PAC=40度证明三角形ABC是等腰三角形

一、辅助线： 1、过A点做射线AX使∠PAX = 10°也就使∠CAX = 30°
 2、过B点做射线BY使∠PBY= 20°交AX于点M，交AC于点N。 
二、证明： 1、由原题得知：∠APB = 150°∠APC = 110°∠BPC = 100°
 2、∠BAP = ∠MAP =10°∠ABP = ∠MBP =20°得出P点是△ABM内心， 
所以∠AMP = ∠BMP =60°
推出∠BPM =100°=∠BPC，所以点M在PC上。 
3、由以上推出∠BMP = ∠PMA =∠AMN = ∠NMC=60°∠CAM = ∠ACM =30°
可以推出△AMN≌△CMN，推出AN=CN且BN⊥AC；
 4、所以AB=AC，△ABC是等腰三角形。

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