高中数学 ，等差数列 和 等差数列前n项合的公式，性质。

谢谢 要全面的 ， 书上 没有的   。

两个性质 和公式都要 特别是等差数列前n项和

 

特别的公式~！  速求~！

Sn=na1+n(n-1)d/2.
等差数列

前n项和公式　　S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2 n是正整数

推论　　一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。 　

　二. 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出：a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=… 　　=a(k)+a(n-k+1)，(类似：p(1)+p(n)=p(2)+p(n-1)=p(3)+p(n-2)=...=p(k)+p(n-k+1))，k∈{1,2,…,n} 　

　三.若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q)，S(2n-1)=(2n-1)*a(n)，S(2n+1)= 　　(2n+1)*a(n+1)，S(k)，S(2k)-S(k)，S(3k)-S(2k)，…，S(n)*k-S(n-1)*k…或等差数列，等等。 　　

若m+n=2p,则a(m)+a(n)=2*a(p) 　　

(对3的证明：p(m)+p(n)=b(0)+b(1)*m+b(0)+b(1)*n=2*b(0)+b(1)*(m+n) 　　p(p)+p(q)=b(0)+b(1)*p+b(0)+b(1)*q=2*b(0)+b(1)*(p+q)；因为m+n=p+q，所以p(m)+p(n)=p(p)+p 　　(q)) 　　

四.其他推论 　　① 和＝（首项＋末项）×项数÷2 　　(证明：s(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)]=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2 　　(p(1)+p(n))*n/2=(b(0)+b(1)+b(0)+b(1)*n)*n/2=n*b0+1/2*b1*n+1/2*b1*n^2=s(n)) 　　项数＝（末项-首项）÷公差＋1 　　(证明：(p(n)-p(1))/b(1)+1=(b(0)+b(1)*n-(b(0)+b(1)))/b(1)+1=(b(1)*(n-1))/b(1)+1=n-1+1=n) 　　

② 首项=2和÷项数-末项 　

　③ 末项=2和÷项数-首项 　　(以上2项为第一个推论的转换) 　

　④ 末项=首项+（项数-1）×公差 　　(上一项为第二个推论的转换) 　　推论3证明 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p) 　　+a(q) 　　如a(m)+a(n)=a(1)+(m-1)*d+a(1)+(n-1)*d 　　=2*a(1)+(m+n-2)*d 　　同理得， 　　a(p)+a(q)=2*a(1)+(p+q-2)*d 　　又因为 　　m+n=p+q ; 　　a(1),d均为常数 　　所以 　　若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a(m)+a(n)=a(p)+a(q) 　　注：1.常数列不一定成立 　　2.m,p,q,n大于等于自然数

⑴数列为等差数列的充要条件是：数列的前n项和S 可以写成S = an^2 + bn的形式(其中a、b为常数)．

　　⑵在等差数列中，当项数为2n (n N )时，S －S = nd， = ；当项数为(2n－1) (n )时，S －S = a ， = ．

　　⑶若数列为等差数列，则S n，S2n －Sn ，S3n －S 2n，…仍然成等差数列，公差为k^2d ．

　　⑷若两个等差数列、的前n项和分别是S 、T (n为奇数)，则 = ．

　　⑸在等差数列中，S = a，S = b (n＞m)，则S = (a－b)．

　　⑹等差数列中， 是n的一次函数，且点（n， ）均在直线y = x + (a － )上．

　　⑺记等差数列的前n项和为S ．①若a ＞0，公差d＜0，则当a ≥0且a ≤0时，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，则当a ≤0且a ≥0时，S 最小．

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