已知二次函数f(x)=ax^2+x,对于任何x∈[0,1],｜f(x)｜<=1成立，试求实数a的取值范围

过程阐述一下

|f(0)|=|a*0²-0|=0≤1

-1≤f(1)=a*1²+1=a+1≤1，-2≤a≤0

设0≤x=-1/（2a）≤1，a≤-1/2，-1≤f(-1/(2a))=a[-1/(2a)]²+[-1/(2a)]=-1/(4a)≤1，a≤-1/4

∴-2≤a≤-1/2

y = x^2 a + x 0<x<1 ,-1<y<1

所以y是关于a的一次函数，斜率k=x^2 属于（0，1）

当x=0， y=0 属于（-1，1），所以 x 属于 R

当x =1 ，y = a+1 所于 -1<a+1 <1 , -2 <a<0

所以 -2 <a<0

2≤a<0

依题意|f(x)|≤1，-1≤f(x)≤1 若a>0，则f(x)表示开口向上的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)<0， 函数在[0，1]上是增函数，所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意得a+1≤1，解出a<0，与前面的假设a>0相矛盾，所以不符题意。 所以只有a<0 则f(x)表示开口向下的二次函数，其对称轴x= -1/(2a)>0，需要分情况讨论： ①若对称轴在区间[0，1]内部偏左，此时0<-1/(2a)≤1/2，即a≤-1， 函数在[0，1]上先增后减，在x=1时取得最小值，在对称轴处取得最大值， 所以f(1)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即a+1≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以 -1/(4a)≤1且a+1≥-1， 解上面的不等式组并结合a≤-1得 -2≤a≤-1。 ②若对称轴在区间[0，1]内部偏右，此时1/2<-1/(2a)<1，即-1<a<-1/2， 函数在[0，1]上先增后减，在x=0时取得最小值，在对称轴处取得最大值， 所以f(0)≤f(x)≤f[-1/(2a)]，即0≤f(x)≤-1/(4a)，依题意-1≤f(x)≤1，所以 -1/(4a)≤1，解之并结合-1<a<-1/2得 -1<a<-1/2。 ③若对称轴在区间[0，1]外，此时-1/(2a) ≥1，即-1/2≤a<0， 函数在[0，1]上单调递增，在x=0时取得最小值，在x=1时取得最大值， 所以f(0)≤f(x)≤f(1)，即0≤f(x)≤a+1，依题意-1≤f(x)≤1，所以 a+1≤1，结合-1/2≤a<0解之得 -1/2≤a<0。 ①②③取并集得到a的取值范围为 2≤a<0

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