设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离

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解决时间 2021-03-12 21:48

提问者网友：心牵心
2021-03-12 07:30

设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为______．

最佳答案

五星知识达人网友：野慌
2021-03-12 07:36

由题，不妨令点C在右支上，则有
AC=2a+x，BC=x，AB=2c；
∵△ABC的三边长成等差数列，且∠ACB=120°，
∴x+2c=2（2a+x）?x=2c-4a；
AC=2a+x=2c-2a；
∵AB 2 =AC 2 +BC 2 -2AC?BC?cos∠ACB；
∴（2c） 2 =（2c-4a） 2 +（2c-2a） 2 -2（2c-4a）（2c-2a）（-
1
2 ）；
∴2c 2 -9ac+7a 2 =0?2e 2 -9e+7=0；
∴e=
7
2 ，e=1（舍）．
故答案为：
7
2 ．

全部回答

1楼网友：琴狂剑也妄
2021-03-12 08:57

不妨设点c在双曲线的右支上，ab=2c. ∠a c b=120 °， ab最长，ca-cb=2a，三边长成等差数列, 则2c+cb=2ca 根据余弦定理可得：ca^2+cb^2-2cacbcos120°=ab^2，即ca^2+cb^2-2cacbcos120°=4c^2, 将cb=2ca-2c代入上式可得： ca^2+(2ca-2c)^2+ca(2ca-2c) =4c^2, 即7 ca^2-10c* ca=0, ca=10c/7. 所以cb=2ca-2c=6c/7. 因为ca-cb=2a，所以10c/7-6c/7=2a，即4c/7=2a, ∴c/a=7/2,即e=7/2。

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