已知圆C：x²+y²-2x+4y-4＝0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4＝0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C

假设存在,设L：y=x+b,设A(x1,y1),B(x2,y2)；AB的中点M(x0,y0)；则：x0=(x1+x2)/2,y0=(y1+y2)/2则以AB为直径的圆,圆心为M,半径r=AB/2；因为要求使该圆过原点,所以MO=r,即：MO=AB/2；4MO²=AB²,4MO²=4(x0²+y0²)=(x1+x2)²+(y1+y2)²因为A,B在直线L：y=x+b上,所以：y1=x1+b,y2=x2+b；则：y1+y2=x1+x2+2b；所以：4MO²=(x1+x2)²+(x1+x2+2b)²=2(x1+x2)²+4b(x1+x2)+4b²；AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²因为：y1-y2=x1-x2所以：AB²=2(x1-x2)²=2[(x1+x2)²-4x1x2]=2(x1+x2)²-8x1x2；由4MO²=AB²得：2(x1+x2)²+4b(x1+x2)+4b²=2(x1+x2)²-8x1x2即：b(x1+x2)+2x1x2+b²=0；直线L：y=x+b 与圆C：x²+y²-2x+4y-4＝0 联列方程组,消去y,得关于x的一元二次方程：x²+(x+b)²-2x+4(x+b)-4＝0；整理得：2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0；由韦达定理：x1+x2=-(b+1),x1x2=(b²+4b-4)/2；代入等式b(x1+x2)+2x1x2+b²=0,得：-b(b+1)+b²+4b-4+b²=0；整理得：b²+3b-4=0(b+4)(b-1)=0解得：b1=-4,b2=1；对于二次方程：2x²+2(b+1)x+b²+4b-4=0要有两个不同的实数根；所以,判别式=4(b+1)²-8(b²+4b-4)>0；即：4b²+24b-36

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