如图，在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上异于A,D两点的动点，F是CD边上的动点，且满足AE+CF=a。

如图，在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上异于A,D两点的动点，F是CD边上的动点，且满足AE+CF=a。
试探索：不论E、F怎样移动，△BEF总是怎样的三角形？并证明你的猜想

解：猜想：△BEF是等边三角形
证明：连接BD
∵四边形ABCD是菱形
∴BD平分∠ADC
∵∠DAB=60°
∴∠ADC=120°，∠EDB=120°/2=60°
∵AE+CF=a
又∵AE+ED=a
∴CF=ED
同理，AE=DF
∵AD=AB，∠DAB=60°
∴△ABD是等边三角形
∴AB=BD
∴△ABE≌△DBF
∴EB=FB，∠ABE=∠DBF
∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠EBD+∠ABE=∠ABD=60°
∴△EBF是等边三角形

解：连bd,
因为在边长a的菱形abcd中，∠dab=60°，
所以∠adb=∠c=60°，△bcd是等边三角形，
所以bd=bc
又ae+cf=a,
所以de=cf,
所以△bcf≌△bde(sas)
所以∠fbc=∠ebd,be=bf
所以∠ebf=∠dbc=60°，
所以△bef是等边三角形，
当bf⊥cd时，边bf最短，此时面积最小，
在直角三角形bcf中，由勾股定理，得bf=(√3/2)a，
所以△bef的周长=(3√3/2)a

如图，在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是AD边上异于A,D两点的动点解：连BD, 因为在边长a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，所以∠ADB=∠C=60°

等边三角形 链接BD，过E作EG∥DB交AB于G 因为AE+CF=a，结合菱形相关条件，可得三角形AEB≌DFB（AE=DF,AB=DB,∠BAE=∠BDF=60°，边角边），那么EB=FB， 同样，三角形EGB≌三角形FDE（EG=AE=DF,GB=DE,∠EGB=∠FDE=120°），所以EF=BE, 所以是正三角形

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