1³+2³+…+n³为什么等于（1+2+…+n)²

1³+2³+…+n³为什么等于（1+2+…+n)²

先推导1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

由n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
得
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n

各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
整理
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)

所以1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

再推导1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2

由(n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2]
=(2n^2+2n+1)(2n+1)
=4n^3+6n^2+4n+1
得
2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4-2^4=4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4-3^4=4*3^3+6*3^2+4*3+1
......
(n+1)^4-n^4=4*n^3+6*n^2+4*n+1

各式相加有
(n+1)^4-1=4*(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6*(1^2+2^2+...+n^2)+4*(1+2+3+...+n)+n
整理后
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)=(n+1)^4-1+6*[n(n+1)(2n+1)/6]+4*[(1+n)n/2]+n
=[n(n+1)]^2

进而1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

如果仅仅是为了证明这条公式，那么用数学归纳法就够了 归纳法证明:（1）当n=1时，显然成立 （2）设n=k时成立，则1^3+2^3+~~~~~+k^3=[k(k+1)/2]^2 当n=k+1时，1^3+2^3+~~~~~+k^3+(k+1)^3 =[k(k+1)/2]^2+(k+1)^3 =(k+1)^2[(k/2)^2+k+1] =(k+1)^2[(k^2+4k+4)/4] =(k+1)^2[(k+2)/2]^2 =(k+1)^2{[(k+1)+1]/2}^2 即n=k+1时也满足 综合(1)(2)知 1^3+2^3+~~~~~+n^3 =[n(n+1)/2]^2 如果学到微积分的话，你会发现自然数的平方和，立方和，4次方和，5次方和...等等，都有计算公式，它们都只是泰勒公式的一个简单特例而已。 如果是初等数学爱好者，教你一个可以推导出3次方和的方法，你可以用这个方法自己推导出4次方和，5次方和...等等。 已知 0次方和的求和公式∑n^0＝n+1 1次方和的求和公式∑n^1＝n(n+1)/2 2次方和的求和公式∑n^2＝n(n+1)(2n+1)/6 用恒等式公式：(x+1)^4-x^4=4*x^3+6*x^2+4*x+1 两边分别求和x＝0到n的情形，特别注意左边可以逐项化减 左边＝(n+1)^4 右边＝4∑n^3+6∑n^2+4∑n^1+∑n^0 将右边的4∑n^3移到左边，左边的(n+1)^4移到右边 就会得到公式 4∑n^3＝(n+1)^4+6∑n^2+4∑n^1+∑n^0 将上面已知的求和公式代进去，化简后，就会得到求和公式 ∑n^3＝(n(n+1)/2)^2 同样的方法，可以求出4次方和5次方和等的求和公式

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