设抛物线y^2=2px的过焦点弦被焦点分为长度为m和n的两部分

则1/m+1/n的值为

记焦点F的直线与抛物线相交于A,B

几何解法：
由对称性不妨设直线倾斜角θ 0<θ<π/2

焦点F(p/2,0)
准线x=-p/2
准线与x轴交点记为P

过A,B分别向准线做垂线 垂足分别为C,D
过B向AC作垂线 垂足为E
BE与x轴交点记为Q

由抛物线的定义
|AF|=|AC|=m
|BF|=|BD|=n
|PF|=p

ΔBQF∽ΔBEA
|QF|/|AE|=|FB|/||AB|
(p-n)/(m-n)=n/(n+m)
p(m+n)=2mn
p/2=mn/(m+n)
两边取倒数
2/p=1/m+1/n

代数解法：
设A(x1,y1) B(x2,y2)
设直线y=k(x-p/2)
代入y^2=2px得
y^2=2p(y/k+p/2)
y^2-(2p/k)y-p^2=0
则y1*y2=-p^2
x1*x2=(y1^2/2p)*(y2^2/2p)
=(y1y2/2p)^2
=p^2/4

由抛物线定义
1/m+1/m
=1/(x1+p/2)+1/(x2+p/2)
=(x1+x2+p)/[x1x2+p/2(x1+x2)+p^2/4]
=(x1+x2+p)/[p/2(x1+x2)+p^2/2]
=(x1+x2+p)/[p/2(x1+x2+p)]
=2/p

此题需要画图通过几何知识来解： 以原点为顶点作一条开口向右的抛物线，焦点f（p/2,0），准线方程：x=-p/2,准线交x轴于g。直线过f交抛物线于a,b,不妨设fa=m，fb=n，过a作ac垂直于准线于c，过b作bd垂直于准线于d，则有ac=m,bd=n(抛物线离心率e=1), 延长df交ca延长线于e，由三角形aef和bdf相似（ac平行于bd推得），及af=m,bd=n,可得到ae=m，所以ce=2m. 在三角形dce中，利用平行线分线段成比例定理，有：gf/ce=bf/be,由抛物线性质gf=p,因此p/(2m)=n/(m+n),整理分式可得1/m+1/n=2/p.

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