f(x)=-x方+2x,是否存在实数mn,使定义域和值域分别是[m,n],[3m,3n]

f(x)=-x方+2x,是否存在实数mn,使定义域和值域分别是[m,n],[3m,3n]

(x)=-(1/2)x^2+x=-(1/2)(x-1)^2+(1/2)
当x=1, f(x)有极大值1/2
如果x=1, 在区间[m,n]上，那么3n=1/2, n=1/6, 则x<=1/6, 矛盾
所以：x=1不在区间[m,n]上
当m<n<1
f(x)在区间[m,n]单调递增
所以：3m=f(m)=-(1/2)m^2+m
m^2+4m=0
而：3n=f(n)=-(1/2)n^2+n
n^2+4n=0
所以，m,n是方程x^2+4x=0的两根
x(x+4)=0
所以：m=-4, n=0

当1<m<n
f(x)在区间[m,n]单调递减
所以：3m=f(n)=-(1/2)n^2+n
n^2-2n+6m=0 ---(1)
而：3n=f(m)=-(1/2)m^2+m
m^2-2m+6n=0 ---(2)
(2)-(1)得：
(m-n)(m+n-8)=0
因为m-n<0, 所以：m+n-8=0
n=8-m ---(3)
(3)代入(2)得：
m^2-2m+48-6m=0
m^2-8m+48=0 无解

综合以上：
m=-4, n=0 

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