数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn与an之间满足an=2Sn^2/2Sn-1(n>=2)求证数列{1/Sn}是等差数列

已知an=2Sn^2/(2Sn -1)
则an=Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn -1)
2Sn²-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)=2Sn²
-2Sn*S(n-1)-Sn+S(n-1)=0,
两边同除以Sn*S(n-1)
-2-1/S(n-1)+1/Sn=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
所以{1/Sn}是公差为2的等差数列
首项为1/S1=1
所以1/Sn=1+2(n-1)= 2n-1，
Sn=1/(2n-1)
为什么an=Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn -1)?

这个很简单，2Sn²/(2Sn -1）这个是题设条件，毫不疑问，an=Sn-S(n-1)这个你是不是不懂？
S（n)=a1+a2+......+a(n-1)+an
S(n-1)=a1+a2+......+a(n-1）
两个一减就是了

sn-s(n-1)=an=(2sn^2)/(2sn-1),整理得,sn-s(n-1)=-2sn*s(n-1) 两边同除sn*s(n-1),得1/s(n-1)-1/sn=-2,即1/sn-1/s(n-1)=2 1/s1=1/a1=1,所以{1/sn}是以1为首项,2为公差的等差数列.

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