在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向

在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向量 AC =λ DE +μ AP ．（Ⅰ）求点（μ，λ）的轨迹方程（不需限制变量取值范围）；（Ⅱ）求λ+μ的最小值．

（Ⅰ）如图，
以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
设E（
1
2 ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．
设P（cosθ，sinθ），∴



AC =（1，1）．
由向量



AC =λ



DE +μ



AP
=λ（
1
2 ，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（
λ
2 +μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1），
∴
λ
2 +μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
即 μcosθ=1-
λ
2 ①，
μsinθ=1+λ ②．
① 2 +② 2 得：5λ 2 +4λ-4μ 2 +8=0；
（Ⅱ）由
λ
2 +μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
∴






λ=
2sinθ-2cosθ
sinθ+2cosθ
μ=
3
sinθ+2cosθ ，
∴λ+μ=
2sinθ-2cosθ+3
sinθ+2cosθ ，
由题意可知：0≤θ≤
π
2 ，∴0≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，
∴当cosθ取得最大值1时，同时sinθ取得最小值0，这时λ+μ取最小值为
0-2+3
0+2 =
1
2 ．
∴λ+μ的最小值为
1
2 ．

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